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Alcuíno História da matemática Resolução de problemas

Alcuíno e suas Propositiones

Carlos Magno (742 – 814) e Alcuíno (735 – 804), em pintura de 1830.
Fonte: BBC

Não é a primeira vez que escrevo sobre uma personalidade que ainda me enche de admiração e respeito. Alcuíno de York (735 – 804), o “Ministro da Educação e da Cultura”, por assim dizer, do imperador Carlos Magno (742 – 814), foi uma figura central na reorganização dos conhecimentos medievais, uma mescla de conhecimentos da Antiguidade com as contribuições cristãs, preparando terreno para as futuras universidades europeias, em uma época quando já existiam universidades muçulmanas no norte da África.

Alcuíno não foi uma figura de destaque na história da matemática. Olhá-lo dessa maneira é diminuir sua importância como o grande reformador que foi. Monge formado em York, na Grã-Bretanha, Alcuíno foi convidado pelo imperador dos francos, Carlos Magno, para reformar as escolas do império, dando origem a um período chamado de Renascimento Carolíngio. Alcuíno também teve uma influência decisiva em várias decisões políticas de Carlos Magno, a quem aconselhava com frequência.

Alcuíno era visto como um excelente professor. Sua grande contribuição foi retomar a estruturação dos conhecimentos da época segundo o modelo clássico, dividido em dois grandes ramos, o trívio, composto de gramática, lógica e retórica, e o quadrívio, que englobava aritmética, geometria, astronomia e música. Conjuntamente, esses conhecimentos eram conhecidos desde a antiguidade como as sete artes liberais, e continham a divisão que vemos até hoje entre ciências humanas e exatas.

Na história da matemática, Alcuíno é conhecido por ter sido o compilador e editor das famosas Propositiones ad Acuendos Juvenes (Proposições para aguçar o espírito da juventude), um conjunto de 53 problemas de matemática elementar que tratam de aritmética, álgebra, geometria, lógica e até algumas “pegadinhas” para divertir o leitor. Você pode ler na íntegra o texto das Propositiones aqui neste site, em tradução inédita e direta do latim medieval. E como sempre é melhor por a mão na massa do que simplesmente vê-la fermentar, eis aqui cinco dos melhores problemas das Propositiones, para nossa mui grande alegria:

Uma lesma foi convidada por uma sanguessuga para um jantar a uma légua de distância. Mas ela não pôde andar mais do que uma só polegada por dia. Diga, quem queira, quantos dias a lesma andou para esse jantar.

Proposição 1

Um homem devia levar para o outro lado do rio um lobo, uma cabra e um molho de couve, mas não pôde outro barco encontrar senão um que podia levar apenas dois deles. E lhe foi dito que chegassem ilesas do outro lado todas essas coisas. Diga, quem pode, como ele pôde transferi-los ilesos para o outro lado.

Proposição 18

Um pai de família construiu um chiqueiro quadrangular novo, no qual pôs uma porca, que pariu 7 porquinhas no meio do chiqueiro, que juntamente com a mãe, que era a oitava, pariram cada uma 7 em cada ângulo. E ela novamente com todos os gerados pariu 7 no meio do chiqueiro. Diga, que deseja, quantos porcos havia junto com a mãe.

Proposição 41

Há uma escada que tem 100 degraus. No primeiro degrau pousava uma pomba, no segundo duas, no terceiro 3, no quarto 4, no quinto 5. E assim em todos os degraus até o centésimo. Diga, quem pode, quantas pombas havia no total.

Proposição 42

Um homem tinha 300 porcos e ordenou que todos os porcos deveriam ser mortos em números ímpares em 3 dias. O mesmo também se fossem 30. Diga então, quem pode, quantos porcos em número ímpar de 300 ou de 30 devem ser mortos em 3 dias.

Proposição 43

Discussão

  1. A primeira proposição, como vemos, é totalmente irrealista, como muitas outras. No entanto, é uma história que diverte, principalmente quando nos surpreendemos com a resposta. Isso sempre nos leva a questionar se não seria melhor ensinar através de histórias interessantes e divertidas do que com exemplos concretos e “contextualizados”. O que você acha disso? (A propósito: uma légua tem 90.000 polegadas, e cada polegada mede 2,54 cm.)
  2. Existe uma história sobre o matemático alemão Carl F. Gauss (1777 – 1855) que conta que ele resolveu, com a tenra idade de 10 anos, o problema de somar todos os números de 1 a 100 em apenas alguns segundos. O problema em questão é equivalente à proposição 42 acima, que Gauss o resolveu com o mesmíssimo método de Alcuíno. Será que Gauss conhecia as Propositiones? Ou será que a “descoberta” de Gauss não era assim tão genial, sendo contada como mais uma daquelas muitas anedotas e lendas criadas para transformar matemáticos demasiadamente humanos em semideuses do pensamento?
  3. Que solução você encontrou para a proposição 43? O que Alcuíno disse sobre isso?

Para saber mais

  • as sete artes liberais
  • trívio e quadrívio
  • matemática medieval
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História da matemática

Zero

O número 605 com caracteres Khmer (Camboja, c. 683)
Fonte: Wikimedia Commons

Disputas históricas raramente são definitivas. Até que novos documentos ou vestígios sejam descobertos e novas interpretações sejam propostas, a história oficial se mantém em uma espécie de limbo narrativo, aguardando ser reescrita por jovens historiadores em busca de um lugar ao sol. Com a história do zero não é diferente.

É discutível se os matemáticos do Egito e da Mesopotâmia conheciam o conceito de zero, mas certamente não possuíam um símbolo para representá-lo. No Egito, construtores marcavam o nível do solo, o nível zero, com um símbolo, mas esse símbolo não era usado em seu sistema de numeração. Os astrônomos da Mesopotâmia deixavam espaços no meio dos números para indicar o zero, o que, obviamente, gerava um enorme problema de leitura. Como saber, por exemplo, se o número 2 1 era 21, 201 ou 2001? Além disso, um simples número como 3 poderia indica 3, 30, 300 ou mais, pois nunca sabemos quantos espaços à direita o escriba teve a intenção de deixar.

Todo esse problema aparece quando usamos a notação posicional para registrar números, ou seja, quando um mesmo algarismo tem valor diferente dependendo da posição que ocupa. O número 55 é feito por dois algarismos iguais, mas o da esquerda vale dez vezes mais do que o da direita. A numeração romana que usamos ainda hoje não é estritamente posicional, e este é apenas um dos sistemas criados na história em que a posição não desempenha papel fundamental.

Apenas no século passado, historiadores europeus voltaram seus olhos para as contribuições científicas de povos distantes da bacia mediterrânea, como indianos, chineses e maias. E o interessante é que foram exatamente esses os primeiros a reconhecer a utilidade de um símbolo para o zero em suas notações.

Por volta de 665, os maias já tinham um símbolo para o zero. Mas, por razões óbvias, isso não influenciou em nada ciência do Velho Mundo. Coube aos indianos realizar o feito de reinventar e difundir um símbolo para o zero.

O zero já era comum na matemática indiana por volta do ano 650, uma época de ouro para as ciências naquela região. Três matemáticos se destacavam: Brahmagupta (c. 598 – c. 668), Bhaskara (c. 600 – c. 680), conhecido por sua célebre forma, e Mahavira (c. 800 – c. 870), já de uma geração posterior. Todos os três usavam o zero em operações matemáticas. Brahmagupta afirmava, por exemplo, que um número subtraído dele mesmo resultava em zero, e que qualquer número multiplicado por zero é zero. Isso nos parece demasiadamente óbvio hoje, mas foi um grande feito para a época.

Levado ao Ocidente pelos árabes, o símbolo para o zero dos matemáticos indianos era como o nosso, apenas menor e elevado na linha de escrita. Foi apenas em 1202, com o Liber Abaci (O livro do ábaco) de Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250), que os algarismos indo-arábicos fizeram sua entrada definitiva na ciência ocidental, desbancando as terríveis dificuldades das operações com os números romanos ou com as pedrinhas usadas nos ábacos medievais da época.

Discussão

  1. O zero é importante não só na aritmética, mas também na álgebra. Você consegue imaginar outras utilidades para ele além daquelas descritas aqui?
  2. Existem diversos sistemas de numeração no mundo, tanto históricos quanto modernos, com diversas bases. O nosso, de base 10, possui 10 símbolos distintos. Outro, muito usado na moderna computação, usa a base hexadecimal, com todos os conhecidos 10 algarismos indo-arábicos mais as letras A, B, C, D, E e F. Pesquise por que foram criados e responda: seria conveniente introduzir esse sistema nas escolas básicas para melhor adaptar os alunos ao universo da moderna computação?
  3. Tente somar os números romanos CCXXIX com DXLVIII, sem convertê-los para decimais, e diga se isso tornou seu dia mais feliz.

Para saber

Que tal pesquisar mais um pouco sobre:

  • notação posicional
  • ábaco medieval
  • algarismos indo-arábicos
  • numeração hexadecimal
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História da matemática

Hipácia e o fim da tradição matemática grega

A atriz Rachel Weisz como Hipácia no filme Ágora
Fonte: Strange Culture Blog

A atuação da premiada atriz Rachel Weisz como Hipácia de Alexandria (c. 351/370 — 415) no filme Ágora foi mais do que memorável. Ela conseguiu captar a genialidade e a vivacidade daquela que é considerada a primeira cientista da história ocidental e, ao mesmo tempo, a última diretora da magnífica Biblioteca de Alexandria.

A imagem acima mostra Hipácia segurando rolos de pergaminhos, vários dos quais ela mesma escreveu. Versada em astronomia e matemática, assim como em filosofia, poesia e artes, Hipácia era filha de Téon de Alexandria (335 — 395), outro renomado matemático e astrônomo da época. Hipácia em muito superou o pai, tendo escrito tratados sobre Diofanto, Ptolomeu e Euclides. Assumiu também a direção, com apenas 30 anos, da lendária Biblioteca de Alexandria, o grande centro da cultura e da ciência helenísticas.

Conta-se que Hipácia era exímia nas técnicas de resolução de problemas de matemática, habilidade que empregou no aperfeiçoamento do hidrômetro e na criação do astrolábio plano. Escreveu muito, mas nenhuma de suas obras sobreviveu. É provável, no entanto, que seus livros tenham sido assinados por cientistas homens, uma vez que a situação de subalternidade imposta às mulheres tem raízes profundas e remotas. E embora a educação universitária moderna seja composta majoritariamente por mulheres, ainda hoje poucas obtêm reconhecimento nas ciências exatas.

Um drama frequentemente relatado sobre a vida de Hipácia é sua morte dramática. Mulher não cristã com posição de destaque na sociedade alexandrina de seu tempo, Hipácia entrou em conflito com o fanatismo religioso e anticientífico de Cirilo (375/378 — 444), o patriarca da cidade, preocupado com o expurgo de doutrinas e ideias que afrontavam os dogmas da cristandade. Cirilo espalhou boatos de que Hipácia fazia sacrifícios humanos, fermentando o furor da população cristã. Em uma tarde de março de 415, ela foi arrastada por uma turba de cristãos até uma igreja e lá dentro torturada cruelmente, tendo seu corpo lançado às chamas logo depois. A Biblioteca de Alexandria, assim, seria fechada, tendo perdido sua última e mais brilhante diretora.

A morte de Hipácia marca tanto o fim do período helenístico nas ciências quanto o início da Idade Média, ainda que a filosofia grega continuasse a ser cultivada em escolas esparsas pela Europa e pelo norte da África. Mais de um milênio se passaria até que uma outra mulher voltasse a figurar na lista de grandes cientistas ocidentais.

Pouco mais de um século depois da morte de Hipácia, o pêndulo científico se voltaria para uma civilização de ideias mais arejadas que se formava bem ali perto, uma que viria a conquistar toda a região: a civilização árabe.

Discussão

  1. Por que você imagina que existam tão poucas mulheres de destaque nas ciências exatas?
  2. Em Alexandria e em sua Biblioteca floresceram dezenas de gerações de cientistas por mais de sete séculos. Seria o subdesenvolvimento crônico do povo brasileiro apenas uma consequência da falta de bibliotecas nas maioria de nossas cidades?
  3. O que você pensa do multimilenar conflito entre ciência e religião? Sabemos que ciência e religião não estão necessariamente em conflito, mas que existem, de fato, afirmações em diversos livros sagrados que contradizem frontalmente os mais elementares conhecimentos científicos. O que você pensa que deve ser feito nessas horas?

Para saber mais

Procure saber um pouco mais sobre

  • astrolábio plano
  • mulheres na matemática
  • sexismo científico
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Álgebra História da matemática Linguagem matemática

Diofanto, a álgebra e a linguagem

Uma página da Aritmética de Diofanto
Fonte: Wikimedia Commons

Isso é grego para mim! Não é assim que falamos quando não entendemos alguma coisa? Agora observe a imagem acima, uma página da Aritmética, de Diofanto de Alexandria (c. 201/215 — 285/299): não só é grego, como também matemática…

Diofanto escreveu sua Aritmética por volta do ano 250. É um livro que trata principalmente das soluções em números inteiros de equações com uma ou mais indeterminadas. Um exemplo bem simples seria a equação [katex]3x – 2y = 1[/katex], solucionada quando fazemos, digamos, [katex]x = 3[/katex] e [katex]y = 4[/katex], uma entre infinitas soluções. Mas as coisas eram um pouco mais avançadas do que esse simples exemplo sugere.

Observe novamente a imagem no início deste post. Onde estão os números e todo aquele conjunto de símbolos a que fomos acostumados na escola? Onde estão as equações? Como aquilo pode ser chamado de matemática? Essas questões apontam para discussões ligeiramente diferentes das que estamos acostumados a ver em livros de história da matemática e mesmo aqui neste site. Uma busca pela internet nos oferece muitos comentários sobre a Aritmética de Diofanto, interessantíssima em si mesma, mas tomaremos caminhos laterais para discutir um assunto frequentemente preterido nos manuais técnicos e nos livros didáticos de matemática: a linguagem das ideias matemáticas e de sua cristalização em um conjunto funcional de símbolos.

Não foi Diofanto o primeiro a usar abreviações de palavras ou as próprias palavras como signos com um significado matemático. Os egípcios já faziam isso, e essa tradição estava presente em Alexandria, uma cidade egípcia que se manteve sob o domínio grego por séculos e séculos. Mas o problema é saber por que as palavras comuns do dia a dia não são suficientes para expressar pensamentos matemáticos. E por que todas as culturas, quando tiveram que lidar com conceitos matemáticos, precisaram criar novos símbolos ou adaptar símbolos já existentes?

Veja a tabela a seguir. Ela mostra a notação moderna e a notação de Diofanto. O que é notável é que não conservamos a notação de Diofanto, assim como não conservamos muitas notações criadas durante a história.

Adaptado de Alexandrian Algebra according to Diophantus

É possível que a notação atual seja substituída por outra mais coerente no futuro. Sabemos que a notação matemática é histórica, ou seja, forjada aos trancos e barrancos para lidar com as ideias e conceitos à medida que são criados. Sabemos também que seus símbolos são polissêmicos, tomando vários significados segundo os contextos em que aparecem. As expressões 3 – 2 e [katex]\frac{3}{2}[/katex] contêm os mesmos elementos, mas o traço significa coisas diferentes nas duas. Bastou que os números se posicionassem de forma diferente para o interpretarmos ora como sinal de subtração, ora como de divisão e ora como de razão. Mas o traço em si é o mesmo.

Além desse problema, a notação matemática parece depender da espacialidade, da possibilidade de escrevermos em todas as direções na folha. Também há problemas com a notação das funções, como a inconsistência do uso do expoente 2 nas expressões [katex]\cos^2 x[/katex] e [katex]\cos x^2[/katex], o que sempre confunde os alunos. Sem dúvida, tradicional não significa melhor.

É possível ver a álgebra simbólica como uma máquina que pode ser manipulada sem que o apelo a um significado seja necessário. A álgebra é o que alimenta a computação moderna, dadas suas regras claras e simples. Por não exigir compreensão, mas apenas manipulação, é a álgebra que acaba figurando como “matemática” na cabeça da maioria dos alunos, que decoram e operam pilhas de regras sem sentido para encontrar o resultado de problemas que não sabem interpretar.

Discussão

  1. Em 1621, o matemático francês Claude Gaspard Bachet de Mériziac (1581 — 1638) editou a Aritmética de Diofanto, em latim e grego. Pierre de Fermat (1601 — 1665), o matemático amador mais celebrado de todos os tempos, possuía um exemplar dessa edição. Conta-se que, em uma de suas leituras, ao lado de um problema algébrico, Fermat escreveu nas margens de sua cópia: “Se um número inteiro n for maior que 2, então [katex]a^n + b^n = c^n[/katex] não terá soluções para inteiros a, b e c diferentes de zero. Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa dessa proposição, mas essa margem é muito estreita para a conter.” Esse é o conhecido Último Teorema de Fermat, demonstrado em 1995 pelo matemático inglês Andrew Wiles. Mas a questão aqui é outra: Fermat lia um livro escrito 1.400 anos antes. Será que o ensino de matemática seria mas bem-sucedido, e os alunos mais criativos, se pudessem ler as obras originais dos matemáticos?
  2. Que outros problemas com a linguagem matemática você consegue identificar? Você chegou a ter problemas com ela?
  3. Até mesmo em aulas de geometria, problemas são frequentemente traduzidos em álgebra e resolvidos mecanicamente, sem nenhum apelo a noções geométricas ou intuições espaciais. Seria a álgebra, pelo seu caráter mecânico e regular, a origem da morte do significado nas aulas de matemática?

Para saber mais

O que significam os termos

  • sinal
  • símbolo
  • polissemia
  • linguagem
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História da matemática

Eratóstenes, seu crivo e a circunferência da Terra

Primos gerados pelo crivo de Eratóstenes
Fonte: tiny.cc/crivo-eratostenes

Eratóstenes de Cirene (276 a.C. — 194 a.C.), assim como Euclides, foi bibliotecário da famosa Biblioteca de Alexandria, onde escreveu sobre matemática, astronomia, geografia e gramática, além de ter exercido seu estro poético na composição de vários poemas. Veremos aqui duas de suas mais conhecidas contribuições científicas.

A primeira trata da criação de um algoritmo para identificar números primos. Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si mesmos. 17 é um número primo, pois você consegue dividir 17 apenas por 1 e pelo próprio 17. Já 18 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Euclides já havia demonstrado, no livro 9 de seus Elementos, que números primos são infinitos, mas uma questão permanecia: como saber se um dado número é primo?

Eratóstenes teve uma ideia bastante engenhosa para determinar quais números de uma lista de inteiros consecutivos são primos. Para acompanhar o raciocínio, sugiro que você faça o experimento prático: escreva uma lista de números começando de 1 até 100. Você pode escrever quantos números quiser, mas a ideia é apenas entender como o algoritmo funciona. Uma lista inicial de 100 números é suficiente.

Inicialmente, risque o número 1. Agora, faça um círculo no 2, o primeiro primo, e risque da lista todos os múltiplos de 2, como 4, 6, 8, 10, 12 e assim por diante, até o fim da lista. Agora faça um círculo no próximo número não riscado, que é o 3, e corte da lista todos seus múltiplos, como 6, 9, 12, 15 e assim por diante, até o fim da lista. Não importa se alguns números já estejam riscados, como o 6 e o 12, pois o importante é riscar todos os múltiplos de 3. Agora, observe o próximo número não riscado, que é o 5, e risque todos seus múltiplos, como 10, 15, 20, 25 e assim por diante, até o fim da lista. Repita esse processo até não haver mais números na lista. O que restará serão todos os números primos entre 1 e 100, exatamente como a figura nos mostra.

O crivo de Eratóstenes foi o primeiro processo sistemático e mecanizado (um algoritmo) para descobrir números primos. Embora não seja muito bom para lidar com números extremamente grandes, ele deu partida na busca de algoritmos mais eficientes que decidam se um determinado número é primo ou não. Esses esforços estão na raiz de nosso mundo tecnológico: é a extrema dificuldade de se saber se um dado número enorme é primo ou não o que garante a segurança das comunicações na internet. Até que matemáticos descubram um algoritmo para resolver o problema em pouco tempo, você pode se sentir tranquilo em entrar o número de seu cartão de crédito em sites respeitáveis — pelo menos até um vírus sorrateiro infectar o seu computador!

Outro grande feito de Eratóstenes foi a medição da circunferência da terra, reconhecidamente redonda por filósofos de gerações anteriores. Muito embora esse fato fosse lugar comum entre os cientistas da época, nenhum deles havia conseguido dizer o quão grande ela era. Coube a Eratóstenes, usando matemática elementar, determinar com bastante precisão sua circunferência.

A história é conhecida. Eratóstenes observou que, ao meio dia de 21 de junho, o sol atinge o ponto mais alto do céu em Alexandria. Observou também que uma estaca fincada no chão produzia uma sombra, e que o ângulo entre a estaca e os raios de sol era de 7,2 graus (aproximadamente 1/50 de uma circunferência). Ele sabia também que em Siena (atual Assuã, no Egito), afastada de Alexandria por cerca de 800 km, a luz do sol não produzia sombras no mesmo dia e à mesma hora, pois era possível vê-lo refletido bem no fundo de um poço. Assim, bastou que ele multiplicasse 50 por 800 para estimar em cerca de 40.000 km a circunferência da Terra. O esquema abaixo pode dar uma ideia do que pensou Eratóstenes.

Esquema imaginado por Eratóstenes.
Fonte: Cosmociência

Sabemos hoje que o valor real da circunferência da Terra, se medido ao redor do equador, é de 40.075 km — uma diferença mínima do valor calculado por Eratóstenes!

Discussão

  1. Números primos estão no coração da matemática, figurando de maneira central no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema afirma que todo número inteiro maior ou igual a 2 pode ser escrito de uma única maneira como um produto de números primos, sem considerar a ordem em que aparecem. Por exemplo, 60 pode ser escrito como 2.2.3.5 e, se ignorarmos a ordem desses números, essa é a única maneira como 60 pode ser escrito como uma multiplicação de números primos. Embora pareça elementar, a importância desse resultado nunca é suficientemente ressaltada. Você conseguiria descobrir por que, afinal, esse teorema é tão importante?
  2. Uma famosa conjetura (um teorema ainda não provado) da matemática, chamada de conjetura de Goldbach, diz que todo número par maior ou igual a 4 pode ser escrito como a soma de no máximo dois números primos. Por exemplo, 12 = 5 + 7 e 20 = 7 + 13. Uma excelente maneira de treinar números primos com alunos é fazê-los escrever todos os números pares de 4 a 100 como somas de 2 números primos. Vocês seria capaz de realizar essa tarefa?
  3. Terraplanistas acreditam que a terra não é redonda, apesar de Eratóstenes ter calculado sua circunferência com espantosa precisão há mais de 2.200 anos atrás. Você acha que a introdução desse tópico nas aulas de ciências ajudaria a reduzir o número de terraplanistas em nossa sociedade?

Para saber mais

Procure saber mais sobre os seguintes assuntos:

  • algoritmo
  • número primo
  • Teorema Fundamental da Aritmética
  • conjetura de Goldbach