Fibonacci e seu Liber Abaci

Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250) é o mais interessante matemático do século XIII. Nascido em Pisa, na Itália, mudou-se ainda jovem com o pai, Guglielmo dei Bonacci, para a cidade de Bugia, na Argélia, onde passou parte de sua vida. Matemático e escritor, é autor do influente Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra que termos a oportunidade de conhecer a seguir.

Ter morado na Argélia, no norte da África, não é um detalhe na vida de Fibonacci. Pelo contrário, é sua parte mais importante: foi no milenar porto de Bugia, onde eram embarcadas as mercadorias vindas do Oriente em direção à Europa, que Leonardo, posteriormente apelidado Fibonacci (de filho de Bonacci), deu início a seus estudos da matemática ágil usada pelos árabes em suas transações comerciais.

Compelido por sua prática de comerciante, Fibonacci foi estudar em Constantinopla, onde aprendeu principalmente nos livros de Al-Khwarizmi e de muitos outros matemáticos árabes. Tomou contato com os algarismos indo-arábicos e com as técnicas de cálculo facilitadas por eles. Lembremo-nos de que na Europa, naquela época, as operações aritméticas que hoje realizamos com facilidade eram laboriosamente feitas com ábacos e algarismos romanos. Toda essa tradição de cálculo seria rapidamente esquecida com a introdução das novas técnicas que Fibonacci levaria em seu mais conhecido livro.

No Liber Abaci (pronunciamos líber ábaki), Fibonacci introduz o modo dos hindus, a maneira como os indianos realizavam operações. No início de seu livro, escreve:

Estas são as nove figuras dos Indianos:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Com estas nove figuras, e com o sinal 0, que em árabe é chamado de zéfiro, qualquer número pode ser escrito.

Mas os números ainda não tinham esse formato. Basta uma olhadela na página que ostenta o famoso problema dos coelhos, no início deste texto, para constatarmos que o formato de nossos algarismos ainda sofreriam algumas mutações. E, em verdade, não foi a primeira vez que apareceram na Europa: o matemático Gerbert d’Aurillac (c. 950 – 1003), que se tornaria o papa Silvestre II, já os conhecia e com eles operava, cerca de duzentos anos antes.

Levaria ainda algum tempo para que o Liber Abaci exercesse alguma influência nas práticas de cálculo de seu tempo. Fibonacci escreveria outros livros, como o Practica Geometriae (Prática de Geometria), o Flos (Flor) e o Liber Quadratorum (Livro dos Quadrados), mas apenas o Liber Abaci seria destinado tanto a acadêmicos quanto a comerciantes.

É nesse livro que surge o famoso problema dos coelhos, que dá origem à sequência de Fibonacci, objeto de admiração e estudo por amadores e matemáticos profissionais, dada sua aparente onipresença em muitas áreas da matemática pura e aplicada, assim como na física, na química, na biologia, nas engenharias e até nas artes. E o problema é o seguinte:

Quantos pares de coelhos são gerados a partir de um par em um ano?
Alguém põe um par de coelhos em um certo lugar totalmente cercado por um muro para saber quantos pares de coelhos são gerados a partir desse par inicial em um ano. A natureza desses coelhos é tal que a cada mês um par de coelhos produz outro par, e coelhos começam a gerar coelhos a partir do segundo mês após seu nascimento.

Sua solução dá origem à sequência

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…

à qual foi acrescentada os números 0 e 1, passando a ser escrita como

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…

Essa sequência é formada recursivamente: a soma de dois números sucessivos forma o terceiro. Por exemplo: [katex display=”true”]0 + 1 = 1 \\ 1 + 1 = 2 \\ 1 + 2 = 3 \\ 2 + 3 = 5 \\ 3 + 5 = 8[/katex] e assim sucessivamente. Observe que a sequência apresenta um padrão do tipo par-ímpar-ímpar: 0, 1, 1, depois 2, 3, 5 e assim por diante. Observe também que se você pegar o número seguinte e dividir pelo número anterior, você formará uma sequência que se aproximará do número 1,618…:

[katex display=”true”]8/5 = 1,6…\\13/8 = 1,625…\\21/13 = 1,615…\\34/21 = 1,619…\\55/34 = 1,617…\\89/55 = 1,618…[/katex]

e assim por diante, convergindo para aquele que é visto como um dos mais notáveis números da matemática, a constante [katex]\phi = 1,61803398875\dots [/katex] (pronunciamos fi).

Essa constante surge no antigo problema de se dividir um segmento em média e extrema razão, que significa encontrar um ponto em um segmento que o divida em duas partes, uma maior e uma menor, de tal maneira que a razão (divisão) do segmento todo pelo segmento maior é a mesma razão (divisão) do segmento maior pelo segmento menor. Essa é a chamada razão áurea.

Embora pareça abstrata, a razão áurea é usada por alguns artistas para dar um certo balanço em suas obras, sejam elas literatura, música ou artes visuais. Há quem diga que ela aparece nas proporções de tudo o que é belo e equilibrado, tanto na natureza quanto nas obras humanas, afirmação que beira mais a superstição do que a evidência científica. No entanto, é verdade que [katex]\phi[/katex] aparece aqui e ali em belíssimos teoremas da geometria e da teoria dos números. Mas única evidência que temos, depois de pesquisarmos com calma o assunto, é que basta um empurrãozinho em mentes menos críticas para provocar uma avalanche de crendices populares.

O Liber Abaci também lida com medidas, moedas, cálculo de lucro e de juros, números perfeitos, números primos e compostos, números irracionais, extração de raízes e algumas demonstrações de geometria. É um livro de interesse tanto prático quanto teórico, o que garantiu sua sobrevivência e utilidade pelos séculos seguintes. E, como muitos outros livros interessantes da história, não conhece sequer cheiro de tradução para o português…

Discussão

1. Como você acha que Fibonacci resolveu o problema dos coelhos?
2. O ábaco é um instrumento que assume muitas formas em diferentes países. É bastante utilizado na educação básica com muito bons resultados. Aprenda a operar um deles, o soroban (ábaco japonês), e teste seus conhecimentos fazendo 437 + 585.
3. A sequência de Fibonacci é tão admirável que um exército de amadores e profissionais passaram a vê-la em muitos lugares. Um desses é na natureza: na inflorescência do girassol, nas proporções dos animais e até nos braços da galáxia. Toda a natureza se estruturaria segundo “padrões de Fibonacci”: a matemática está mesmo em tudo ou somos nós que queremos vê-la assim, onipresente?

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