Euclides e seus Elementos

Euclides (fl. c. 300 a.C.) foi um importante matemático grego que viveu em Alexandria, no Egito. É considerado popularmente como o “pai da geometria”, ainda que esse epíteto esteja errado em cada palavra.

Pouco se sabe sobre sua vida, exceto que desenvolveu sua obra sob o reinado de Ptolomeu I do Egito (323 – 283 a.C.). Mais do que geometria elementar, Euclides escreveu sobre a teoria dos espelhos, ótica e astronomia esférica. Mas é pela sua obra máxima, chamada de Elementos, que ele se imortalizou, exercendo a mais duradoura influência no pensamento humano jamais alcançada por outro cientista.

Euclides é melhor denominado como o sistematizador do método axiomático, a maneira de ordenar o conhecimento baseado em axiomas e teoremas. O método axiomático, que funciona muito bem na matemática, consiste em fundamentar todos os fatos sobre determinados objetos em cima de uma diminuta base de afirmações primitivas conhecidas como axiomas. A partir dos axiomas, novas afirmações são derivadas — os teoremas — por um poderoso motor intelectual cujas peças são as regras da lógica. Foi através desse método que Euclides ordenou em treze livros boa parte do conhecimento matemático elementar de sua época.

Os Elementos, traduzidos pela primeira vez diretamente do grego por Irineu Bicudo, e publicado no Brasil pela Editora da Unesp em 2009, está dividido em 13 livros:

• O livro 1 contém 23 definições, 5 postulados e 9 noções comuns, e cobre tópicos importantes da geometria plana, como o teorema de Pitágoras, igualdade de ângulos e áreas, paralelismo, soma dos ângulos de um triângulo e a construção de várias figuras geométricas;
• O livro 2 contém vários lemas (teoremas preparatórios para outros teoremas) relativos à igualdade de retângulos e quadrados, às vezes chamados de “álgebra geométrica”, e conclui com uma construção da proporção áurea e uma maneira de construir um quadrado com área igual a qualquer figura plana;
• O livro 3 trata de círculos e suas propriedades. Mostra como encontrar seu centro, tratas de ângulos inscritos, tangentes, potência de pontos, e o teorema de Tales;
• O livro 4 constrói o incírculo e o circuncírculo de um triângulo, assim como mostra a construção de polígonos regulares com 4, 5, 6 e 15 lados;
• O livro 5, o primeiro dos chamados livros aritméticos, trata de proporções de magnitudes, apresenta a teoria altamente sofisticada da proporção, provavelmente desenvolvida por Eudoxo de Cnido (408 a.C — 355 a.C);
• O livro 6 aplica a teoria das proporções à geometria plana, especialmente na construção e no reconhecimento de figuras semelhantes;
• O livro 7 trata da teoria dos números elementares: divisibilidade, números primos e sua relação com números compostos, o algoritmo de Euclides para encontrar o maior divisor comum e como encontrar o mínimo múltiplo comum;
• O livro 8 trata da construção de sequências geométricas de números inteiros;
• O livro 9 aplica os resultados dos dois livros anteriores e prova a infinidade de números primos e apresenta a construção de todos os números perfeitos pares;
• O livro 10 prova a irracionalidade das raízes quadradas de números inteiros não quadrados, como a raiz de 2, e classifica as raízes quadradas de segmentos incomensuráveis ​​em treze categorias distintas. Euclides apresenta o termo irracional, com um significado diferente do conceito moderno de número irracional. Ele também fornece uma fórmula para produzir ternas pitagóricas;
• O livro 11 generaliza os resultados do livro 6 para figuras sólidas: perpendicularidade, paralelismo, volumes e semelhança de paralelepípedos;
• O livro 12 estuda os volumes de cones, pirâmides e cilindros usando o método da exaustão, um precursor da integração, e mostra, por exemplo, que o volume de um cone é um terço do volume do cilindro correspondente. Conclui mostrando que o volume de uma esfera é proporcional ao cubo de seu raio (na linguagem moderna), aproximando seu volume por uma união de muitas pirâmides;
• O livro 13, por fim, constrói os cinco sólidos platônicos regulares inscritos em uma esfera e compara as proporções de suas arestas com o raio da esfera.

Boa parte desses conteúdos são contribuições de matemáticos anteriores. A Euclides são reputados diversos resultados originais e muitas demonstrações, inclusive a belíssima demonstração do teorema de Pitágoras. Mas como foram ordenados todos esses conhecimentos?

Euclides começa o livro 1 com uma série de 23 definições controversas, como “ponto é aquilo de que nada e parte”, “linha é comprimento sem largura” e outras 21 definições. Logo depois, enuncia os 5 seguintes postulados, que modernamente chamamos de axiomas:

1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos.

Dos postulados acima, o quinto é o mais estranho e também o mais importante. Não tem a aparência de uma afirmação elementar, e nos faz suspeitar que seja um teorema deduzido dos postulados anteriores. De fato, foi isso o que matemáticos de todas as épocas tentaram: mostrar como deduzir o quinto postulado dos quatro anteriores. Esses esforços redundaram em geniais fracassos, mas ocasionaram o desenvolvimento das geometrias não-euclidianas, geradas quando o quinto postulado é substituído por outros. As geometrias não-euclidianas, longe de serem filhas de especulações desinteressadas de matemáticos puros, são usadas hoje em muitas áreas da tecnologia, principalmente na teoria da relatividade de Albert Einstein (1879 — 1955), que, entre outras coisas, garante o bom funcionamento do sistema de GPS em todo o planeta.

Após esses postulados, Euclides apresenta as “noções comuns”, nove axiomas supostamente aplicáveis a todos os ramos do conhecimento, como, por exemplo, “o todo é maior do que a parte” e “os dobros da mesma coisa são iguais entre si”. Sobre essa base de definições, postulados e noções comuns, centenas e centenas de teoremas são demonstrados, em um encadeamento lógico que encanta e convence.

Os Elementos tratam de matemática elementar, mas sua leitura não é nada fácil. A tradução de Irineu Bicudo, a primeira feita diretamente do grego, é tão idiossincrática, por assim dizer, que podemos considerá-la uma obra destinada a eruditos: só é recomendada para quem deseja aprender o grego de Euclides comparando-o com o português de Bicudo. Mas foi essa mesma a intenção do tradutor: estabelecer um padrão ouro para a tradução de textos da antiguidade grega. Esperamos que, futuramente, uma boa alma retraduza os Elementos tornando-o palatável a um público mais geral. E enquanto isso não ocorre, vamos refletir mais um pouco sobre algumas questões pertinentes aos Elementos e seu uso científico.

Discussão

1. O método axiomático é uma das grandes conquistas da ciência ocidental. Sua aplicação em áreas diversas da matemática chegou a produzir intuições profundas sobre uma espantosa quantidade de assuntos. No entanto, ainda que persista na matemática, ele está bastante desgastado em outras disciplinas. Por que não seria esse o método ideal, por exemplo, para ordenar nossos conhecimentos médicos?
2. A história do ensino de matemática é a história de um longo fracasso. Será que isso é devido à falta de uma organização escolar mais estrita de seus conteúdos, uma que favoreça as ligações internas e profundas entre eles?
3. Observe as lista de conteúdos dos treze livros. Quais deles você acha que deveriam ser ensinados no ensino básico? Por quê?

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