Logaritmos

Uma experiência comum entre professores de matemática é ouvir de alunos a provocativa pergunta “para que serve?”. E uma experiência ainda mais comum entre os alunos que não fazem tais perguntas é suspeitar que quase toda a matemática que aprenderam não serve para absolutamente nada. Ambas as experiências são falsamente reforçadas quando o tema em questão são os logaritmos.

Foi o matemático escocês John Napier (1550 – 1617) que introduziu os logaritmos como expediente de cálculo para simplificar as tediosas operações com números de muitos dígitos, necessárias aos astrônomos e navegadores da época. Com os logaritmos, operações de multiplicação, divisão e exponenciação se transformam em simples adições, subtrações e multiplicações. Mas como?

Suponha que você necessite realizar a multiplicação 32 x 128 e tem ao seu lado uma tabela de potências de 2. Olhando a tabela, você percebe que 32 = 2⁵ e 128 = 2⁷. Daí percebe que para multiplicar esses números basta somar os expoentes 5 e 7 e achar 12. Com esse valor, você olha de novo na tabela e vê que 2¹² = 4096, encontrando a resposta da multiplicação. Você evitou uma multiplicação com uma adição e três olhadelas em uma tabela.

Pareceu mais complicado do que realizar a multiplicação? Mas não é. Imagine multiplicar números como 3,476098 e 1,775369 dezenas de vezes durante o dia. Mais fácil seria transformar essas multiplicações todas em adições, olhando em uma tabela os expoentes de 3,476098 e 1,775369, somar esses expoentes e novamente olhar na tabela o número que corresponde ao expoente encontrado. Quando usados dessa forma, esses expoentes são chamados de logaritmos.

Napier viria a aperfeiçoar sua invenção juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630) e, a partir de então, os logaritmos se tornariam o mais importante avanço nas técnicas de cálculo até a invenção do computador digital, cerca de 400 anos depois.

Napier dedicou muito do seu tempo para desenvolver instrumentos de cálculo. Além dos logaritmos, desenvolveu uma espécie de ábaco chamado carinhosamente de ossos de Napier. A figura no início deste post mostra como era um instrumento desse: tabelas de multiplicação eram incorporadas em hastes que, quando giradas, transformavam multiplicações em adições e divisões em subtrações, seguindo a mesma lógica dos logaritmos. Em versões mais avançadas, extraíam até raízes quadradas. Os ossos de Napier foram inspirados em ideias de matemáticos árabes e também nas de Fibonacci, mostrando mais uma vez a influência de ambos na cultura europeia.

Pouco antes das calculadoras eletrônicas, era comum encontrar engenheiros utilizando réguas de cálculo em seus projetos. Esses instrumentos fascinantes incorporavam os logaritmos em sua construção e possibilitavam rapidez e precisão de resultados, dispensando tabelas e cálculos manuais. Ainda hoje são interessantes como instrumentos didáticos, e é comum encontrá-las em laboratórios de matemática nas universidades.

Alguns professores se desviam da pergunta impertinente “para que serve” dizendo coisas como “no futuro você verá” ou “para desenvolver o raciocínio”. Além de frustrarem as ambições científicas dos alunos, respostas como essas concorrem para demonstrar a ignorância do professor e as deficiências de sua formação. Melhor seria dizerem — e procurarem mostrar — como os logaritmos são usados na escala Richter, que mede a intensidade dos terremotos; no cálculo do potencial hidrogeniônico, o famoso pH, que calcula acidez ou a basicidade das substâncias; no cálculo da complexidade computacional, que classifica algoritmos segundo sua dificuldade inerente; na música, com o cálculo dos intervalos musicais; no cálculo da entropia de um sistema, medindo seu nível de desordem; e no cálculo da dimensão dos fractais. Mas será que os professores não acharão que isso “complica demais as coisas”?

Discussão

1. Os logaritmos surgiram devido a necessidades práticas dos cientistas. Você acha que toda matemática é criada a partir de alguma urgência pragmática?
2. Se os esforços dos matemáticos se concentraram, durante muito tempo, em construir máquinas que fizessem as contas mais tediosas para eles, por que você deveria aprender a realizá-las com lápis e papel?
3. Você consegue dizer alguma outra aplicação dos logaritmos além daquelas discutidas no texto?

Para saber mais

Procure saber mais sobre:

• exponenciação e radiciação
• régua de cálculo
• escala Richter
• pH
• dimensão fractal