Diofanto, a álgebra e a linguagem

Isso é grego para mim! Não é assim que falamos quando não entendemos alguma coisa? Agora observe a imagem acima, uma página da Aritmética, de Diofanto de Alexandria (c. 201/215 — 285/299): não só é grego, como também matemática…

Diofanto escreveu sua Aritmética por volta do ano 250. É um livro que trata principalmente das soluções em números inteiros de equações com uma ou mais indeterminadas. Um exemplo bem simples seria a equação [katex]3x – 2y = 1[/katex], solucionada quando fazemos, digamos, [katex]x = 3[/katex] e [katex]y = 4[/katex], uma entre infinitas soluções. Mas as coisas eram um pouco mais avançadas do que esse simples exemplo sugere.

Observe novamente a imagem no início deste post. Onde estão os números e todo aquele conjunto de símbolos a que fomos acostumados na escola? Onde estão as equações? Como aquilo pode ser chamado de matemática? Essas questões apontam para discussões ligeiramente diferentes das que estamos acostumados a ver em livros de história da matemática e mesmo aqui neste site. Uma busca pela internet nos oferece muitos comentários sobre a Aritmética de Diofanto, interessantíssima em si mesma, mas tomaremos caminhos laterais para discutir um assunto frequentemente preterido nos manuais técnicos e nos livros didáticos de matemática: a linguagem das ideias matemáticas e de sua cristalização em um conjunto funcional de símbolos.

Não foi Diofanto o primeiro a usar abreviações de palavras ou as próprias palavras como signos com um significado matemático. Os egípcios já faziam isso, e essa tradição estava presente em Alexandria, uma cidade egípcia que se manteve sob o domínio grego por séculos e séculos. Mas o problema é saber por que as palavras comuns do dia a dia não são suficientes para expressar pensamentos matemáticos. E por que todas as culturas, quando tiveram que lidar com conceitos matemáticos, precisaram criar novos símbolos ou adaptar símbolos já existentes?

Veja a tabela a seguir. Ela mostra a notação moderna e a notação de Diofanto. O que é notável é que não conservamos a notação de Diofanto, assim como não conservamos muitas notações criadas durante a história.

É possível que a notação atual seja substituída por outra mais coerente no futuro. Sabemos que a notação matemática é histórica, ou seja, forjada aos trancos e barrancos para lidar com as ideias e conceitos à medida que são criados. Sabemos também que seus símbolos são polissêmicos, tomando vários significados segundo os contextos em que aparecem. As expressões 3 – 2 e [katex]\frac{3}{2}[/katex] contêm os mesmos elementos, mas o traço significa coisas diferentes nas duas. Bastou que os números se posicionassem de forma diferente para o interpretarmos ora como sinal de subtração, ora como de divisão e ora como de razão. Mas o traço em si é o mesmo.

Além desse problema, a notação matemática parece depender da espacialidade, da possibilidade de escrevermos em todas as direções na folha. Também há problemas com a notação das funções, como a inconsistência do uso do expoente 2 nas expressões [katex]\cos^2 x[/katex] e [katex]\cos x^2[/katex], o que sempre confunde os alunos. Sem dúvida, tradicional não significa melhor.

É possível ver a álgebra simbólica como uma máquina que pode ser manipulada sem que o apelo a um significado seja necessário. A álgebra é o que alimenta a computação moderna, dadas suas regras claras e simples. Por não exigir compreensão, mas apenas manipulação, é a álgebra que acaba figurando como “matemática” na cabeça da maioria dos alunos, que decoram e operam pilhas de regras sem sentido para encontrar o resultado de problemas que não sabem interpretar.

Discussão

1. Em 1621, o matemático francês Claude Gaspard Bachet de Mériziac (1581 — 1638) editou a Aritmética de Diofanto, em latim e grego. Pierre de Fermat (1601 — 1665), o matemático amador mais celebrado de todos os tempos, possuía um exemplar dessa edição. Conta-se que, em uma de suas leituras, ao lado de um problema algébrico, Fermat escreveu nas margens de sua cópia: “Se um número inteiro n for maior que 2, então [katex]a^n + b^n = c^n[/katex] não terá soluções para inteiros a, b e c diferentes de zero. Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa dessa proposição, mas essa margem é muito estreita para a conter.” Esse é o conhecido Último Teorema de Fermat, demonstrado em 1995 pelo matemático inglês Andrew Wiles. Mas a questão aqui é outra: Fermat lia um livro escrito 1.400 anos antes. Será que o ensino de matemática seria mas bem-sucedido, e os alunos mais criativos, se pudessem ler as obras originais dos matemáticos?
2. Que outros problemas com a linguagem matemática você consegue identificar? Você chegou a ter problemas com ela?
3. Até mesmo em aulas de geometria, problemas são frequentemente traduzidos em álgebra e resolvidos mecanicamente, sem nenhum apelo a noções geométricas ou intuições espaciais. Seria a álgebra, pelo seu caráter mecânico e regular, a origem da morte do significado nas aulas de matemática?

Para saber mais

O que significam os termos

• sinal
• símbolo
• polissemia
• linguagem